John Stillwell

von Martin Skrodzki

Die Mathematik wird häufig zu den Naturwissenschaften gezählt. Während jedoch in Physik, Chemie oder Biologie Experimente angestellt und deren Ausgänge beobachtet werden, ist das Vorgehen in der Mathematik grundsätzlich anders. Als Grundlage dient hier nicht die zu beobachtende Welt, sondern eine Menge zuvor festgelegte Regeln und Schlussweisen, sogenannte Axiome (von griechisch αξωμα: „Wertschätzung, Urteil, als wahr angenommener Grundsatz“). Wohl die bekannteste Menge an Axiomen wird Euklid zugeschrieben und ist auch nach ihm benannt. Diese legen den Grundstein für die Euklidische Geometrie. Eines der Axiome von Euklid besagt beispielsweise, dass durch zwei voneinander verschiedene Punkte genau eine Gerade verläuft. Es gibt noch andere Axiomensysteme, zum Beispiel das von Giuseppe Peano für die Menge der natürlichen Zahlen oder das von Ernst Zermelo und Abraham Fraenkel für die Mengenlehre. Mathematische Aussagen, Definitionen und Theorien werden auf Grund eines solchen axiomatischen Systems erstellt und weiterentwickelt.

John Stillwell, Professor für Mathematik an der University of San Francisco dreht in seinem Buch „Reverse Mathematics – Proofs from the inside out“ das übliche Vorgehen um. Anstatt zu präsentieren, wie aus den Axiomen gewisse Sätze hergeleitet und bewiesen werden können, stellt er die Frage: „Welche Axiome brauche ich, um diese Aussage beweisen zu können?“ Das Buch ist damit eine Einführung in das Gebiet der „Umgedrehten Mathematik“ (engl. Reverse Mathematics). Dieses junge und noch sehr unbekannte Gebiet wird wohl am besten von Harvey Friedman beschrieben, der 1975 formulierte:

„When a theorem is proved from the right axioms, the axioms can be proved from the theorem.“

Entsprechend begibt sich John Stillwell mit den Leserinnen und Lesern auf die Suche nach genau diesen „richtigen“ Axiomen. Er beginnt mit einer historischen Einführung, in der Euklid in seiner Rolle als Vater der Axiomatik gewürdigt wird. Über die natürlichen Zahlen geht es schnell in den Bereich der klassischen Analysis, wo selbst vorgebildete Leserinnen und Leser Neues erfahren können. So arbeitet Stillwell plastisch heraus, wie die Sätze von Dénes König über die Existenz unendlicher Substrukturen in Graphen und Bämen eine notwendige Grundlage für viele bekannte Beweise aus der Analysis, wie zum Beispiel einen Beweis der Mittelwertsatzes, darstellen. Geht es danach um die Theorie von Berechenbarkeit, schließt das Buch mit Betrachtungen von unterschiedlichen Axiomensystemen für die Mengenlehre und die reellen Zahlen.

Die Menge an behandelten Themen schließt aus, dass Stillwell auf seinen knapp 170 Seiten in jedes angesprochene Thema einführen kann. Das Buch richtet sich daher an Leserinnen und Leser mit Vorwissen zumindest in den Bereichen der Linearen Algebra und der Analysis. Ist dieses Vorwissen vorhanden ermöglicht das Buch jedoch eine ungewöhnliche und bereichernde neue Sichtweise auf gut bekannt geglaubte Inhalte.